Главная→Инженерные системы→Критерии оптимальности. Решение задач по оптимизации транспортных перевозок В качестве критерия оптимальности транспортных перевозок берется

Критерии оптимальности. Решение задач по оптимизации транспортных перевозок В качестве критерия оптимальности транспортных перевозок берется

Расчетная работа № 4: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из пунктов отправления (производства) в пунктов назначения (потребления) . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из -го пункта отправления в -й пункт назначения, через - запасы груза в -м пункте отправления, через - потребности в грузе в -м пункте назначения, а через - количество единиц груза, перевозимого из -го пункта отправления в -й пункт назначения. Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы.

производства	Пункты потребления	производства
производства		производства

потребителя

Составим математическую модель задачи.

(1)

при ограничениях

План , при котором функция (1) принимает своё минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Условие разрешимости транспортной задачи

Теорема: Для разрешимоститранспортной задачинеобходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребности в грузе в пунктах назначения, т. е чтобы выполнялось равенство

Модель такой транспортной задачи называется закрытой , или замкнутой , или сбалансированной , в противном случае модель называется открытой .

В случае вводится фиктивный- й пункт назначения с потребностью ; аналогично, при вводится фиктивный-й пункт отправления с запасом груза и соответствующие тарифы считаются равными нулю:. Этим задача сводится к обычной транспортной задаче. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи.

Число переменных в транспортной задаче с пунктами отправления и пунктами назначения равно , а число уравнений в системе (2)-(4) - . Так как мы предполагаем выполнение условия (5), то число линейно независимых уравнений равно . Следовательно, опорный план может иметь не более отличных от нуля неизвестных. Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности , то план называется невырожденным , а если меньше - то вырожденным .

Построение первоначального опорного плана

Для определения опорного плана существует несколько методов: метод северо-западного угла (диагональный метод), метод наименьшей стоимости (минимального элемента ), метод двойного предпочтения и метод аппроксимации Фогеля .

Кратко рассмотрим каждый из них.

1.Метод северо-западного угла . При нахождении опорного плана на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного («северо-западный угол») и заканчивается клеткой для неизвестного, т.е. как бы по диагонали таблицы.

2. Метод наименьшей стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку , которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел и , затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс размещения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

3. Метод двойного предпочтения . Суть метода заключается в следующем. В каждом столбце отмечают знаком «√» клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку «√√». В них находится минимальная стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком «√». В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

4. Метод аппроксимации Фогеля . При определении опорного плана данным методом на каждой итерации по всем столбцам и всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности заносят в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или столбце), который данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации.

Определение критерия оптимальности

С помощью рассмотренных методов построения первоначального опорного плана можно получить вырожденный или невырожденный опор-ный план. Построенный план транспортной задачи как задачи линейного программирования можно было бы довести до оптимального с помощью симплексного метода. Однако из-за громоздкости симплексных таблиц, со-держащих тп неизвестных, и большого объема вычислительных работ для получения оптимального плана используют более простые методы. Наиболее часто применяются метод потенциалов (модифицированный распредели-тельный метод).

Метод потенциалов .

Метод потенциалов позволяет определить отправляясь от некоторого опорного плана перевозок построить решение транспортной задачи за конечное число шагов (итераций).

Общий принцип определения оптимального пла-на транспортной задачи этим методом аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплексным методом, а именно: сначала на-ходят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Составим двойственную задачу

1. , - любые

Пусть есть план

Теорема (критерий оптимальности):Для того чтобы допустимый план перевозок в транспортной задаче был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа , , что

Если. (7)

числа и называются потенциалами пунктов отправления и назначения соответственно.

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Он состоит в следующем. Пусть одним из рассмотренных выше методов найден опорный план. Для этого плана, в ко-тором базисных клеток, можно определить потенциалы и так,чтобы выполнялось условие (6). Поскольку система (2)-(4) содержит уравнений и неизвестных, то одну из них можно задать произвольно (например, приравнять к нулю). После этого из уравнений (6) определяются остальные потенциалы и для каждой из свободных клеток вы-числяются величины . Если оказалось, что , то план оп-тимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке , то план не яв-ляется оптимальным и может быть улучшен путем переноса по циклу, соот-ветствующему данной свободной клетке.

Циклом в таблице условий транспортной задачи, называется ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья - вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое - в столбце. Если ломанная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами.

Процесс улучшения плана продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия если (7).

Пример решения транспортной задачи.

Задача. На четыре базы A 1 , A 2 , A 3 , A 4 поступил однородный груз в следующем количестве: а 1 тонн - на базу А 1 , а 2 тонн - на базу А 2 , а 3 тонн - на базу А 3 , а 4 тонн - на базу А 4 . Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов: b 1 тонн - на базу B 1 , b 2 тонн - на базу B 2 , b 3 тонн - на базу B 3 , b 4 тонн - на базу B 4 , b 5 тонн - на базу B 5 . Расстояния между пунктами назначений указаны в матрице расстояний.

пункты отправления	пункты назначения
пункты отправления




потребности

Стоимость перевозок пропорциональна количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение. Проверим сбалансированность транспортной задачи, для этого необходимо чтобы

, .

1. Решим задачу диагональным методом или методом северо-западного угла.

Процесс получения плана можно оформить в виде таблицы:

пункты отправления

При решении транспортной задачи выбор критерия оптимальности имеет важное значение. Как известно, оценка экономической эффективности примерного плана может определятся по тому или иному критерию, положенного в основу расчета плана. Этот критерий является экономическим показателем, характеризующим качество плана. До настоящего времени нет общепринятого единого критерия всесторонне учитывающего экономические факторы. При решении транспортной задачи, в качестве критерия оптимальности в различных случаях используют следующие показатели:

1) Объем работы транспорта (критерий - расстояние в т/км). Минимум пробега удобен для оценки планов перевозок, поскольку расстояние перевозки определяется легко и точно для любого направления. Поэтому критерию нельзя решать транспортные задачи с участием многих видов транспорта. С успехом применяется при решении транспортных задач для автомобильного транспорта. При разработке оптимальных схем перевозки однородных грузов автомобилями.

2) Тарифная плата за перевозку груза (критерий - тарифы провозных плат). Позволяет получить схему перевозок, наилучшую с точки зрения хозрасчетных показателей предприятия. Все надбавки, а также существующие льготные тарифы затрудняют его использование.

3) Эксплутационные расходы на транспортировку грузов (критерий - себестоимость эксплутационных расходов). Более верно отражает экономичность перевозок различными видами транспорта. Позволяет делать обоснованные выводы о целесообразности переключения с одного вида транспорта на другой.

4) Сроки доставки грузов (критерий - затраты времени).

5) Приведенные затраты (с учетом эксплуатационных расходов, зависящих от размеров движения и капиталовложения в подвижной состав).

6) Приведенные затраты (с учетом полных эксплуатационных расходов капиталовложений на строительство объектов в подвижной состав).

где - эксплутационные издержки,

Расчетный коэффициент эффективности капиталовложения,

Капитальные вложения, приходящие на 1 т груза на протяжении участка,

Т - время следования,

Ц - цена одной тоны груза.

Позволяет более полно производить оценку рационализации разных вариантов планов перевозок, с достаточно полной выраженностью количественно-одновременное влияние нескольких экономических факторов.

Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через – запасы груза в i-м пункте отправления, через – потребности в грузе в j–м пункте назначения, а через – количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условиях

(2)

(3)

(4)

Поскольку переменные удовлетворяют системам линейных уравнений (2) и (3) и условию неотрицательности (4), то обеспечиваются вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, а также исключаются обратные перевозки.

Таким образом, Т-задача представляет собой задачу ЛП с m*n числом переменных, и m + n числом ограничений - равенств.

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единиц. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е.

то модель такой транспортной задачи называется закрытой или сбалансированной .

Существует ряд практических задач, в которых условие баланса не выполняется. Такие модели называются открытыми . Возможные два случая:

В первом случае полное удовлетворение спроса невозможно .

Такую задачу можно привести к обычной транспортной задаче следующим образом. В случае превышения потребности над запасом, т. е. вводится фиктивный (m +1)–й пункт отправления с запасом груза и тарифы полагаются равными нулю:

Тогда требуется минимизировать

при условиях

Рассмотрим теперь второй случай .

Аналогично, при вводится фиктивный (n +1)–й пункт назначения с потребностью и соответствующие тарифы считаются равными нулю:

Тогда соответствующая Т-задача запишется так:

Минимизировать

при условиях:

Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.

В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (5).

В некоторых случаях нужно задать, что по каким-либо маршрутам нельзя перевозить продукцию. Тогда стоимости перевозок по этим маршрутам задаются так, чтобы они превышали самые высокие стоимости возможных перевозок (для того, чтобы было невыгодно везти по недоступным маршрутам) – при решении задачи на минимум. На максимум – наоборот.

Иногда нужно учесть, что между какими-то пунктами отправки и какими-то пунктами потребления заключены договора на фиксированные объемы поставки, то надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого объем гарантированной поставки вычитается из следующих величин:

· из запаса соответствующего пункта отправки;

· из потребности соответствующего пункта назначения.

Пример.

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Решение. Обозначим через количество единиц сырья, перевозимого из i–го пункта его получения на j–е предприятие. Тогда условия доставки и вывоза необходимого и имеющегося сырья обеспечиваются за счет выполнения следующих равенств:

(6)

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок составит

Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (6), при котором целевая функция (7) принимает минимальное значение.

Решение транспортной задачи

Основные шаги при решении транспортной задачи:

1. Найти начальный допустимый план.

2. Выбрать из небазисных переменных ту, которая будет вводиться в базис. Если все небазисные переменные удовлетворяют условиям оптимальности, то закончить решение, иначе к след. шагу.

3. Выбрать выводимую из базиса переменную, найти новое базисное решение. Вернуться к шагу 2.

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (2) и (3), определяемое матрицей , называется планом транспортной задачи. Опорным (базисным) планом Т-задачи называют любое ее допустимое, базисное решение.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы.

Матрицу С называют матрицей транспортных затрат, матрицу X, удовлетворяющую условиям Т-задачи (2) и (3) называют планом перевозок, а переменные - перевозками. План , при котором целевая функция минимальна, называется оптимальным.

Число переменных в транспортной задаче с m пунктами отправления и n пунктами назначения равно m*n , а число уравнений в системах (2) и (3) равно m+n . Так как мы предполагаем, что выполняется условие (5), то число линейно независимых уравнений равно m+n–1 . Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более m+n–1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности m+n–1 , то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным.

Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом.

Построение допустимого (опорного) плана в транспортной задаче

По аналогии с другими задачами линейного программирования решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного плана. Существует несколько методов построения начальных опорных планов Т-задачи. Из них самый распространенный метод северо-западного угла и метод минимального элемента .

Наиболее простой способ его нахождения основывается на так называемом методе северо-западного угла. Суть метода состоит в последовательном распределении всех запасов, имеющихся в первом, втором и т. д. пунктах производства, по первому, второму и т. д. пунктам потребления. Каждый шаг распределения сводится к попытке полного исчерпания запасов в очередном пункте производства или к попытке полного удовлетворения потребностей в очередном пункте потребления. На каждом шаге q величины текущих нераспределенных запасов обозначаются а i (q ), а текущих неудовлетворенных потребностей - b j (q ) . Построение допустимого начального плана, согласно методу северо-западного угла, начинается с левого верхнего угла транспортной таблицы, при этом полагаем а i (0) = а i , b j (0) = b j . Для очередной клетки, расположенной в строке i и столбце j , рассматриваются значения нераспределенного запаса в i -ом пункте производства и неудовлетворенной потребности j -ом пункте потребления, из них выбирается минимальное и назначается в качестве объема перевозки между данными пунктами: х i, j =min{а i (q) , b j (q) } . После этого значения нераспределенного запаса и неудовлетворенной потребности в соответствующих пунктах уменьшаются на данную величину:

а i (q+1) = а i (q) - x i , j , b j (q+1) = b j (q) - x i , j

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: а i (q+1) = 0 или b j (q+1) = 0 . Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i+1 , т. е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же b j (q+1) = 0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j -го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей, нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же условия число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1 , поэтому всегда останутся свободными (нулевыми) mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (а i (q) =b j (q)) . В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

Особенностью допустимого плана, построенного методом северо-западного угла, является то, что целевая функция на нем принимает значение, как правило, далекое от оптимального. Это происходит потому, что при его построении никак не учитываются значения c i , j . В связи с этим на практике для получения исходного плана используется другой способ - метод минимального элемента , в котором при распределении объемов перевозок в первую очередь занимаются клетки с наименьшими ценами.

Пример нахождения опорного плана

F=14 x 11 + 28 x 12 + 21 x 13 + 28 x 14 + 10 x 21 + 17 x 22 + 15 x 23 + 24 x 24 + 14 x 31 + 30 x 32 +25 x 33 + 21 x 34

Первоначальный план получен по методу северо-западного угла. Задача сбалансированная (закрытая).

Таблица 1

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 1681:

F=14 *27 + 28* 0 + 21*0 + 28*0 + 10 *6 + 17 *13 + 15*1 + 24 *0 + 14 *0 + 30 *0 +25*26 + 21 *17 =1681

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из т пунктов отправления в п пунктов назначения . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения, через – запасы груза в i -м пункте отправления, через – потребности в грузе в j – м пункте назначения, а через – количество единиц груза, перевозимого из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условиях

(64)

(65)

(66)

Поскольку переменные удовлетворяют системам уравнений (64) и (65) и условию неотрицательности (66), обеспечиваются доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки.

Определение 15.

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (64) и (65), определяемое матрицей , называется планом транспортной задачи.

Определение 16.

План , при котором функция (63) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы 21.

Таблица 21

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

Теорема 13.

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство (67).

В случае превышения запаса над потребностью, т. е. вводится фиктивный (n +1)–й пункт назначения с потребностью и соответствующие тарифы считаются равными нулю: Полученная задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство (67).

Аналогично, при вводится фиктивный (m +1)–й пункт отправления с запасом груза и тарифы полагаются равными нулю: Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (67).

Число переменных в транспортной задаче с т пунктами отправления и п пунктами назначения равно пт , а число уравнений в системах (64) и (65) равно п+т . Так как мы предполагаем, что выполняется условие (67), то число линейно независимых уравнений равно п+т – 1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более п + т – 1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности п +т – 1, то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным.

Как и для всякой , оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом.

Для определения оптимального плана транспортной задачи можно использовать изложенные выше методы.

Пример 19.

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Решение. Обозначим через количество единиц сырья, перевозимого из i –го пункта его получения на j –е предприятие. Тогда условия доставки и вывоза необходимого и имеющегося сырья обеспечиваются за счет выполнения следующих равенств:

(68)

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок составит

Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (68), при котором целевая функция (69) принимает минимальное значение.

Программа для решения транспортной задачи методом потенциалов

Математическая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из т пунктов отправления А 1 , А 2 , …, А т в п пунктов назначения В 1 , В 2 , …, В п . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза.

Обозначим:

c ij – тарифы перевозки единицы груза из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения,

a i – запасы груза в i -м пункте отправления,

b j – потребности в грузе в j– м пункте назначения,

x ij – количество единиц груза, перевозимого из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения.

Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции: (6.1)

при условиях
(6.2)

(6.3)

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (6.2) и (6.3), определяемое матрицей Х=(х ij ) , называется планом транспортной задачи.

План Х*=(х* ij ) , при котором функция (6.1) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы.

Для определения опорного плана существует несколько методов: метод северо-западного угла, метод наименьшей стоимости, метод аппроксимации Фогеля и др.

Метод северо-западного угла

В самую северо-западную клетку таблицы заносится максимально допустимая перевозка, при этом либо вывозится весь груз со станции А 1 и все остальные клетки первой строки вычеркиваются, либо потребности первого потребителя В 1 полностью удовлетворяются, тогда все клетки первого столбца вычеркиваются. После этого самой северо-западной клеткой становится клетка А 1 В 2 или В 2 А 1 . Алгоритм продолжается до заполнения таблицы. Недостатки – не учитывается стоимость перевозки, и получается план далекий от оптимального.

Метод наименьшей стоимости

Метод в какой-то степени учитывает затраты на перевозки и строится следующим образом: рассматривается матрица и находится клетка с наименьшей стоимостью, которая заполняется максимально допустимой перевозкой. В большинстве случаев этот метод дает план близкий к оптимальному.

Метод аппроксимации Фогеля

На каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записываются в специально отведенных для этого строке и столбце таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают минимальную. В строке или столбце, которой данная разность соответствует, определяют минимальный тариф.

Широкораспространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов.

Данный метод позволяет оценить начальное опорное решение и методом последовательного улучшения найти оптимальное решение.

Теорема 1. Если опорный план Х=(х ij ) является оптимальным, существует система из (т+п) чисел, называемых потенциалами, U i , V j , такая, что:

U i + V j =С ij ,для х ij >0 (базисные переменные);

U i + V j =С ij ,для х ij =0 (свободные переменные).

Таким образом, для проверки оптимальности начального оптимального плана необходимо выполнение следующих условий:

для каждой занятой клетки сумма потенциалов равна стоимости перевозки единицы груза, стоящей в этой клетке:

U i + V j =С ij

для каждой свободной клетки сумма потенциалов меньше или равна стоимости перевозки единицы груза, стоящей в этой клетке:

U i + V j £ С ij

Теорема 2. Любая закрытая транспортная задача имеет решение, которое достигается за конечное число шагов метода потенциалов.

Построение цикла и определение величины перераспределения груза.

Циклом в таблице перевозок называется ломаная с вершинами в клетках и ребрами, расположенными вдоль строк или столбцов матрицы, удовлетворяющая двум требованиям:

ломаная должна быть связной, т.е. из любой ее вершины можно попасть в другую вершину, двигаясь по ребрам;

в каждой вершине цикла сходятся ровно два ребра – одно по строке, другое по столбцу.

Циклом пересчета свободной клетки называется такой цикл, одна из вершин которого находится в свободной клетке, а остальные – в базисных.

Приведем примеры некоторых циклов.

Теорема 3. В таблице перевозок для каждой свободной клетки существует один цикл пересчета.

Алгоритм метода потенциалов

Поставим в соответствие каждой станции А i потенциал и i , а каждой станции В j потенциал v j . Для этого для каждой заполненной клетки х ij ≠0 составим уравнение и i + v j =с ij . Придадим и 1 =1 (можно любое другое значение) и найдем все остальные потенциалы.

Проверим оптимальность найденного опорного плана. Для этого вычислим сумму потенциалов для свободных клеток. Если эта сумма меньше стоимости перевозки с ij , стоящей в этой клетке, то найдено оптимальное решение. Если больше, то в этой клетке есть нарушение, равное разности между этой суммой и стоимостью перевозки. Найдем все такие нарушения (будем их записывать в тех же клетках внизу справа). Выберем из этих нарушений наибольшее о построим цикл пересчета свободной клетки который начнется из отмеченной клетки с наибольшим нарушением.

3. Цикл пересчета начинается в свободной клетке, где ставим знак плюс, а остальные клетки заняты. Знаки в этих клетках чередуются. Выберем наименьшую из перевозок, стоящих в клетках со знаком минус. Тогда данную перевозку прибавляем к перевозкам со знаком плюс и вычитаем из перевозок со знаком минус. Получим новое оптимальное решение. Проверим его на оптимальность.

4. Для новых потенциалов проверяем условие оптимальности. Если условия оптимальности выполняются, то получено оптимальное решение, если нет, то продолжаем поиск оптимального решения по методу потенциалов.

Пример 7.1. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции использует три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей
.

Составить такой план перевозок, при котором общая себестоимость перевозок является минимальной.

Решение:

задача закрытого типа.

Составим первый план транспортной задачи методом северо-западного угла. Заполнение клеток таблицы начнем с левой верхней клетки.

S 1 =120·7+40·8+10·5+130·9+60·3+110·6=3120

Составим первый план методом минимальной стоимости. Будем заполнять клетки с минимальными тарифами.

S 2 =160·1+120·4+20·8+50·2+30·3+90·6=1530

Стоимость при таком плане перевозок почти в два раза меньше. Начнем решение задачи с этого плана. Проверим его на оптимальность. Введем потенциалы α i – соответственно отправления, β j – соответственно назначения. По занятым клеткам составляем систему уравнений α i + β j =c ij:

Для свободных клеток таблицы проверяем критерий оптимальности

Будем составлять разности

План не оптимальный т. к. имеется положительная оценка
Построим из неё цикл пересчета. Это ломаная линия звеньев которые расположены строго по вертикали или горизонтали, а вершины находятся в занятых клетках. В плохой клетке поставим знак (+). В остальных вершинах знаки чередуются. Из отрицательных вершин выбираем наименьшее число и сдвигаем его по циклу. Перешли к новому опорному плану.

S 3 =70·1+90·2+120·4+20·8+50·2+120·3=1350

Стоимость перевозок меньше, т.е. план улучшили. Проверяем теперь новый план на оптимальность. По занятым клеткам:

По свободным клеткам:

План не оптимальный т. к. имеется положительная оценка
Строим цикл пересчета и переходим к новому плану.

S 4 =50·1+110·2+120·4+20·5+30·2+140·3=1330

Проверяем новый план на оптимальность.

По занятым клеткам:

По свободным клеткам:

Критерий оптимальности выполнен, т. е. последний план оптимальный.

Ответ: