Формула вычисления проекции вектора на ось. Проекции векторов на координатные оси. Операции над векторами, заданными в координатной форме

В этой статье мы разберемся с проекцией вектора на ось и научимся находить числовую проекцию вектора. Сначала дадим определение проекции вектора на ось, введем обозначения, а также приведем графическую иллюстрацию. После этого озвучим определение числовой проекции вектора на ось, рассмотрим способы ее нахождения и покажем решения нескольких примеров, в которых требуется найти числовую проекцию вектора на ось.

Навигация по странице.

Проекция вектора на ось – определение, обозначение, иллюстрации, пример.

Начнем с общих сведений.

Под осью понимается прямая, для которой указано направление. Таким образом, проекция вектора на ось и проекция вектора на направленную прямую – это одно и то же.

Проекцию вектора на ось можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось есть вектор, а в алгебраическом – число. Часто это разграничение явно не указывается, а понимается из контекста. Мы же не станем игнорировать это разграничение: будем использовать термин «», когда речь идет о проекции вектора в геометрическом смысле, и термин «», когда речь идет о проекции вектора в алгебраическом смысле (числовой проекции вектора на ось посвящен следующий пункт этой статьи).

Теперь переходим к определению проекции вектора на ось. Для этого не помешает повторить .

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве нам задана ось L и ненулевой вектор . Обозначим проекции точек А и В на прямую L соответственно как А 1 и В 1 и построим вектор . Забегая вперед скажем, что вектор - это проекция вектора на ось L .

Определение.

Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Проекцию вектора на ось L обозначают как .

Чтобы построить проекцию вектора на ось L , нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции .

Приведем пример проекции вектора на ось.

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и задана некоторая точка . Изобразим радиус-вектор точки М 1 и построим его проекции на координатные оси Ox и Oy . Очевидно, ими являются векторы с координатами и соответственно.

Часто можно слышать о проекции одного вектора на другой ненулевой вектор или о проекции вектора на направление вектора . В этом случае подразумевается проекция вектора на некоторую ось, направление которой совпадает с направлением вектора (вообще существует бесконечно много осей, направления которых совпадают с направлением вектора ). Проекция вектора на прямую, направление которой определяет вектор , обозначается как .

Отметим, что если угол между векторами и острый, то векторы и сонаправлены. Если угол между векторами и тупой, то векторы и противоположно направлены. Если же вектор нулевой или перпендикулярен вектору , то проекция вектора на прямую, направление которой задает вектор , есть нулевой вектор.

Числовая проекция вектора на ось – определение, обозначение, примеры нахождения.

Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция этого вектора на данную ось.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Числовую проекцию вектора на ось L обозначают как (без стрелочки сверху), а числовую проекцию вектора на ось, определяемую вектором , - как .

В этих обозначениях определение числовой проекции вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид , где - длина вектора , - угол между векторами и .

Итак, мы имеем первую формулу для вычисления числовой проекции вектора : . Эта формула применяется, когда известны длина вектора и угол между векторами и . Несомненно, эту формулу можно применять и тогда, когда известны координаты векторов и относительно заданной прямоугольной системы координат, однако в этом случае удобнее использовать другую формулу, которую мы получим ниже.

Пример.

Вычислите числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , если длина вектора равна 8 , а угол между векторами и равен .

Решение.

Из условия задачи имеем . Осталось лишь применить формулу, позволяющую определить требуемую числовую проекцию вектора:

Ответ:

Нам известно, что , где – скалярное произведение векторов и . Тогда формула , позволяющая найти числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид . То есть, мы можем сформулировать еще одно определение числовой проекции вектора на ось, которое эквивалентно определению, данному в начале этого пункта.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось , направление которой совпадает с направлением вектора , - это отношение скалярного произведения векторов и к длине вектора .

Полученную формулу вида удобно применять для нахождения числовой проекции вектора на прямую, направление которой совпадает с направлением вектора , когда известны координаты векторов и . Покажем это при решении примеров.

Пример.

Известно, что вектор задает направление оси L . Найдите числовую проекцию вектора на ось L .

Решение.

Формула в координатной форме имеет вид , где и . Используем ее для нахождения требуемой числовой проекции вектора на ось L :

Ответ:

Пример.

Относительно прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы два вектора и . Найдите числовую проекцию вектора на ось L , направление которой совпадает с направлением вектора .

Решение.

По координатам векторов и можно вычислить скалярное произведение этих векторов: . Длина вектора по его координатам вычисляется по следующей формуле . Тогда формула для определения числовой проекции вектора на ось L в координатах имеет вид .

Применим ее:

Ответ:

Теперь давайте получим связь между числовой проекцией вектора на ось L , направление которой определяет вектор , и длиной проекции вектора на ось L . Для этого изобразим ось L , отложим векторы и из точки, лежащей на L , опустим перпендикуляр из конца вектора на прямую L и построим проекцию вектора на ось L . В зависимости от меры угла между векторами и возможны следующие пять вариантов:

В первом случае очевидно, что , следовательно, , тогда .

Во втором случае в отмеченном прямоугольном треугольнике из определения косинуса угла имеем , следовательно, .

В третьем случае очевидно, что , а , следовательно, и .

В четвертом случае из определения косинуса угла следует, что , откуда .

В последнем случае , следовательно, , тогда
.

Следующее определение числовой проекции вектора на ось объединяет в себе полученные результаты.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось L , направленную как вектор , это

Пример.

Длина проекции вектора на ось L , направление которой задает вектор , равна . Чему равна числовая проекция вектора на ось L , если угол между векторами и равен радиан.

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

1. Геометрическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется вектор A"B" , начало которого A’ есть проекция начала A на ось (вектор), а конец B’ – проекция конца B на ту же ось.
2. Алгебраическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется длина вектора A"B" , взятая со знаком + или - , в зависимости от того, имеет ли вектор A"B" то же направление, что и ось (вектор).

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

AC" =AB" +B"C"

Пр a b = |b|·cos(a,b)

Виды проекций вектора

1. проекция на ось OX.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Введение…………………………………………………………………………3

1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4

2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5

3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6

4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8

5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение:

Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.

Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.

Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.

1. Значение вектора и скаляра.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .

Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:

Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.

Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.

Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.

2.Определение проекции, оси и координатой точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

3.Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

4. Основная формула векторной алгебры.

Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а x = а x ·i, а y = а y ·j.

Но в соответствии справилом сложения векторов

а = а x + а y .

а = а x ·i + а y ·j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.

Ответ:

Свойства проекций:

Свойства проекции вектора

Свойство 1.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:

Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.

Свойство 2. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

Свойство 3.

Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Орт оси. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Свойства координат

Ответ:

Орты осей.

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае орты обычно обозначаются

И Могут также применяться обозначения со стрелками и

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Разложение вектора по координатным ортам.

Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1)

Для любого вектора который лежит в плоскости имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

Координаты вектора:

Чтобы вычислить координаты вектора, зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).

Свойства координат.

Рассмотрим координатную прямую с началом координат в точке О и единичным вектором i. Тогда для любого вектора a на этой прямой: a = axi.

Число ax называется координатой вектора a на координатной оси.

Свойство 1. При сложении векторов на оси их координаты складываются.

Свойство 2. При умножении вектора на число его координата умножается на это число.

Скалярное произведение векторов. Свойства.

Ответ:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,

равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=bа

Скалярное произведение координатных ортов. Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Скалярное произведение (×) орты

Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.

Ответ:

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую., если нет то в противоположном (показать как он показывал с «ручками»)

Векторным произведением вектора а на векторb называется вектор с который:

1. Перпендикулярен векторам а иb

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на a и b векторах

3. Векторы, a ,b , и c образуют правую тройку векторов

Свойства:

1.

3.

4.

Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Векторное произведение координатных ортов.

Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой.

Разложим а и b по базисным векторам:

а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

[а; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

По определению векторного произведения находим

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученная формула громоздка.Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:

Обычно формулу (З) записывают еще короче:

Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.

Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.

На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:

sx = s · cos(α) = 50 км · cos( 150°) = –43 км

Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:

sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км

Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.

На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:

υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c

Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.

Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. sy и ay на левом чертеже, а также sx и υx на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.

Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, например, sx = +s (см. левый чертёж). Действительно, для вектора, сонаправленного с осью, угол между ним и осью равен нулю, и его косинус «+1», то есть проекция равна длине вектора: sx = x – xo = +s .

Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю, взятому со знаком «минус», например, sy = –s (см. правый чертёж). Действительно, для вектора, противонаправленного оси, угол между ним и осью равен 180°, и его косинус «–1», то есть проекция равна длине вектора, взятой с отрицательным знаком: sy = y – yo = –s .

На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.