Впитываемостью а значит есть вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Умножение зависимых событий

Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений. Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей.

Шаги

Вероятность единичного случайного события

1. Выберите событие со взаимоисключающими результатами. Вероятность можно рассчитать лишь в том случае, если рассматриваемое событие либо происходит, либо не происходит. Нельзя одновременно получить какое-либо событие и противоположный ему результат. Примером таких событий служат выпадение 5 на игровом кубике или победа определенной лошади на скачках. Пять либо выпадет, либо нет; определенная лошадь либо придет первой, либо нет.

   • Например, невозможно вычислить вероятность такого события: при одном броске кубика выпадут 5 и 6 одновременно.

2. Определите все возможные события и результаты, которые могут произойти. Предположим, необходимо определить вероятность того, что при броске игрового кубика с 6 цифрами выпадет тройка. «Выпадение тройки» является событием, и поскольку мы знаем, что может выпасть любая из 6 цифр, число возможных исходов равно шести. Таким образом, мы знаем, что в данном случае есть 6 возможных результатов и одно событие, вероятность которого мы хотим определить. Ниже приведено еще два примера.

   • Пример 1 . В данном случае событием является «выбор дня, который приходится на выходные», а число возможных исходов равно количеству дней недели, то есть семи.
   • Пример 2 . Событием является «вынуть красный шар», а число возможных исходов равно общему количеству шаров, то есть двадцати.

3. Поделите число событий на количество возможных исходов. Таким образом вы определите вероятность одиночного события. Если мы рассматриваем случай выпадения 3 при бросании кубика, число событий равно 1 (тройка находится лишь на одной грани кубика), а общее количество исходов равно 6. В результате получаем соотношение 1/6, 0,166, или 16,6 %. Вероятность события для двух приведенных выше примеров находится следующим образом:

   • Пример 1 . Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? Число событий равно 2, так как в одной неделе два выходных дня, а общее количество исходов составляет 7. Таким образом, вероятность равна 2/7. Полученный результат можно записать также как 0,285 или 28,5 %.
   • Пример 2 . В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Число событий равно 5, поскольку в коробке 5 красных шаров, а общее количество исходов составляет 20. Находим вероятность: 5/20 = 1/4. Полученный результат можно записать также как 0,25 или 25 %.

4. Сложите вероятности всех возможных событий и проверьте, получится ли в сумме 1. Суммарная вероятность всех возможных событий должна составлять 1, или 100 %. Если у вас не получится 100 %, скорее всего, вы допустили ошибку и пропустили одно или несколько возможных событий. Проверьте свои вычисления и убедитесь, что вы учли все возможные исходы.

   • Например, вероятность выпадения 3 при бросании игрового кубика составляет 1/6. При этом вероятность выпадения любой другой цифры из пяти оставшихся также равна 1/6. В результате получаем 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, то есть 100 %.
   • Если вы, например, забудете о цифре 4 на кубике, сложение вероятностей даст вам лишь 5/6, или 83 %, что не равно единице и указывает на ошибку.

5. Представьте вероятность невозможного исхода в виде 0. Это означает, что данное событие не может произойти, и его вероятность равна 0. Таким образом вы сможете учесть невозможные события.

   • Например, если бы вы вычисляли вероятность того, что в 2020 году Пасха придется на понедельник, то получили бы 0, поскольку Пасха всегда празднуется в воскресенье.

   Вероятность нескольких случайных событий

   1. При рассмотрении независимых событий вычисляйте каждую вероятность отдельно. После того как вы определите, каковы вероятности событий, их можно будет рассчитать отдельно. Предположим, необходимо узнать вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5. Мы знаем, что вероятность выпадения одной пятерки составляет 1/6, и вероятность выпадения второй пятерки также равна 1/6. Первый исход не связан со вторым.

      • Несколько выпадений пятерок называются независимыми событиями , поскольку то, что выпадет первый раз, не влияет на второе событие.

   2. Учитывайте влияние предыдущих исходов при расчете вероятности для зависимых событий. Если первое событие влияет на вероятность второго исхода, говорят о расчете вероятности зависимых событий . Например, если вы выбираете две карты из колоды, состоящей из 52 карт, после взятия первой карты состав колоды изменяется, что влияет на выбор второй карты. Чтобы рассчитать вероятность второго из двух зависимых событий, необходимо вычесть 1 из количества возможных результатов при расчете вероятности второго события.

      • Пример 1 . Рассмотрим следующее событие: Из колоды случайным образом одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность того, что первая карта будет иметь трефовую масть, составляет 13/52, или 1/4, поскольку всего в колоде 13 карт одной масти.
        • После этого вероятность того, что вторая карта окажется трефовой масти, составляет 12/51, поскольку одной трефовой карты уже нет. Это объясняется тем, что первое событие влияет на второе. Если вы вытянули тройку треф и не положили ее обратно, в колоде будет на одну карту меньше (51 вместо 52).
      • Пример 2 . В коробке 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вынуть три шара, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым?
        • Вероятность того, что первый шар окажется красным, составляет 5/20, или 1/4. Вероятность того, что второй шар будет синим, равна 4/19, поскольку в коробке осталось на один шар меньше, но по прежнему 4 синих шара. Наконец, вероятность того, что третий шар окажется белым, составляет 11/18, так как мы уже вынули два шара.

   3. Перемножьте вероятности каждого отдельного события. Независимо от того, имеете ли вы дело с независимыми или зависимыми событиями, а также количества исходов (их может быть 2, 3 и даже 10), можно рассчитать общую вероятность, умножив вероятности всех рассматриваемых событий друг на друга. В результате вы получите вероятность нескольких событий, следующих одно за другим . Например, стоит задача Найти вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5 . Это два независимых события, вероятность каждого из которых равна 1/6. Таким образом, вероятность обоих событий составляет 1/6 x 1/6 = 1/36, то есть 0,027, или 2,7 %.

      • Пример 1 . Из колоды наугад одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность первого события составляет 13/52. Вероятность второго события равна 12/51. Находим общую вероятность: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, то есть 0,058, или 5,8 %.
      • Пример 2 . В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вытянуть из коробки три шара один за другим, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым? Вероятность первого события составляет 5/20. Вероятность второго события равна 4/19. Вероятность третьего события составляет 11/18. Таким образом, общая вероятность равна 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, или 3,2 %.

Задача №1.26

Номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000). Определить вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

Найдём число всех возможных комбинаций номера автомобиля:

2-ая цифра номера равна 4, если его комбинация представляет набор вида: X 4 XX , где X – любая цифра от 0 до 9.

Следовательно, число таких номеров равно:

Вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

Ответ:

Задача № 2.11

Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 1). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Рисунок 1

Согласно рисунку 1 элементы 1, 2, 3 соединены параллельно между собой и последовательно с элементом 4.

Введем события: A ­ 1 – элемент 1 исправен, A ­ 2 – элемент 2 исправен, A ­ 3 – элемент 3 исправен, A ­ 4 – элемент 4 исправен, B – сигнал проходит от точки a к точке b , C – сигнал проходит от точки a к точке c (со входа на выход).

Событие B произойдёт, если будут работать или элемент 1, или элемент 2, или элемент 3:

B :

Событие C произойдёт, если произойдёт событие B и событие A 4 :

Вероятность наступления события C :

Ответ:

Задача №3.28

Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй - 30% и третий - 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8 , на втором - 0,85 и на третьем - 0,9. Прибор, поступивший на производство, оказался исправным. Определить вероятность того, что он изготовлен на втором заводе.

Обозначим через А событие – прибор, поступивший на производство исправен.

Сделаем ряд предположений:

Прибор поступил с 1-ого завода:

Прибор поступил со 2-ого завода:

Прибор поступил с 3-его завода:

Соответствующие условные вероятности для каждой из гипотез:

По формуле полной вероятности найдём вероятность события A :

Вычислим вероятность того, что исправный прибор поступил со 2-ого завода:

Ответ:

Задача №4.26

Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

Событие - монета ни разу из 100 подбрасываний не упала гербом вверх.

Вероятность того, что монета не упала гербом вверх p =0,5 и следовательно, вероятность того что монета упала гербом вверх q =0,5 :

Определим вероятность события A по формуле Бернулли (n = 100; k =100 )

Ответ:

Задача № 5.21

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица 1 – Исходные данные

Математическое ожидание и дисперсию величины Х:

Построим ряд распределения СВ X:

Таблица 2 –Ряд распределения СВ X

Построим график функции распределения (рисунок 2):

Рисунок 2 - график функции распределения F(X­ i)

Задача № 6.3

Случайная величина Х задана плотностью вероятности:

Определить константу С , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Отсюда константа :

Определим математическое ожидание СВ Х:

Определим дисперсию СВ Х :

Определим функцию распределения величины Х:

Ответ:

Задача № 7.15

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b ]. Построить график случайной величины Y=  (X) и определить плотность вероятности g(y).

обратных функций не существует

Рисунок 3 – график функции

Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале , то её плотность вероятности равна:

Определим плотность вероятности величины :

Задача № 8.30

Двухмерный случайный вектор (Х, У ) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунок 4 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Таблица 3 – Исходные данные

Рисунок 4

Построим область B согласно координатам из таблицы 5 и рисунку 4.

Рисунок 5

Проанализируем рисунок 5: область B на промежутке ограничена слева прямой , справа , на промежутке ограничена слева прямой , справа -

Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:

Таким образом:

Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е:

Следовательно, константа рассчитана верно.

Вычислим математические ожидания:

Вычислим дисперсии:

Вычислим корреляционный момент:

Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:

Ответ:

Задача № 9

По выборке одномерной случайной величины:

Получить вариационный ряд;

Построить график эмпирической функции распределения F * (x ) ;

Построить гистограмму равноинтервальным способом;

Построить гистограмму равновероятностным способом;

Вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

Вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия  2 и критерия Колмогорова ( = 0,05).

Одномерная выборка:

Размер выборки

Решение

1. Получим вариационный ряд из исходного:

Построим гистограмму равноинтервальным способом (рисунок 7).

Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что длина у всех интервалов должна быть одинаковая.

Количество интервалов;

- ширина интервала;

Частота попадания СВ X в j-ый интервал;

Статистическая плотность в j-ом интервале.

Таблица 4 – Интервальный статистический ряд

f * (x)

Рисунок 7

Построим гистограмму равновероятностным способом (рисунок 8).

Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что частота попадания СВ X в в каждый j-ый интервал должна быть одинаковая (Таблица 5).

Таблица 5 – Интервальный статистический ряд

f * (x)

Рисунок 8

Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95):

H 0 – величина X распределена по экспоненциальному закону:

H 1 – величина X не распределена по экспоненциальному закону

Таким образом получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:

Проверим гипотезу о нормальном законе по критерию Пирсона . Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда:

Теоретические вероятности попадания в интервалы вычислим по формуле:

Таблица 6 – Результаты расчётов

Проверим правильность вычислений :

Вычислим критерий Пирсона:

Определим число степеней свободы:

Выбираем критическое значения критерия Пирсона из таблицы для степени свободы и заданного уровня значимости :

Так как условие выполняется, то гипотеза H 0 об экспоненциальном законе распределения принимается (нет оснований ее отклонить).

8) Проверим гипотезу при помощи критерия Колмогорова. Для этого построим график гипотетической функции распределения в одной системе координат с эмпирической функцией (рисунок 6). В качестве опорных точек используем 10 значений из таблицы 6. По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями и :

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости выбираем критическое значение критерия:

Так как условие выполняется, гипотеза H­ 0 об экспоненциальном законе распределения принимается (нет оснований ее отклонить).

Формула полной вероятности

Теорема. Если событие A может наступить только при условии появления одного из несовместных событий, которые образуют полную группу, то вероятность события A равна сумме произведений каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события A, т. е. .Док-во: по условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, …, ВnА. Пользуясь теоремой сложения, получаем:

(*) по теореме умножения зависимых событий имеем:

Подставив эти формулы в (*), получим: Поскольку заранее не известно, какие з событий наступят, то их называют гипотезами. Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)- стандартная. Решение. Событие А- извлеченная деталь стандартная. Деталь может быть извлечена из первого набора (событие В1), либо из второго (событие В2). Условная вероятность того, что из первого набора деталь стандартная, Что из второго набора стандартная Р(А)=0,5*0,8+0,5*0,9=)=0,85

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Часто, приступая к анализу вероятностей, мы имеем предварительные значения вероятностей, интересующих нас событий. После проведения испытания эти вероятности могут несколько уточняться. Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие A. Необходимо найти вероятности гипотез, после того как испытание произведено, т. е. условные вероятности гипотез. Найдем сначала условную вероятность. По теореме умножения. Отсюда.Аналогично выводятся формулы остальных гипотез. В общем случае условная вероятность любой гипотезы Bi, где, определяется как. Последняя формула называется формулой Байеса. Она позволяет переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A.

Пример 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0.6, а ко второму - 0.4Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0.94, а вторым - 0.98.

Найти вероятность того, что деталь будет признана стандартной; Проверенная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что она проверена первым контролером.

Решение: Событие А={деталь признана стандартной}, Гипотеза В 1 ={деталь проверил первый контролер}, Гипотеза В 2 ={деталь проверил второй контролер}. 1) ; 2) Т.о. до испытания значение вероятности гипотезы B1равнялось 0.6, а после проведения испытания изменилось и стало равняться.

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек - правша.

b) Определите вероятность того, что человек - левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества . Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.


Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения - это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1ю дверь
2. Ты позвонил в 2ю дверь
3. Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

1. Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

1. Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

1. Орел-орел
2. Орел-решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

1. Какова вероятность вытащить белый шар?
2. Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .

Ответ:

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Ответ:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

1. В колоде карты каждого достоинства, значит:
2. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:

   Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:

   Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:

   Ответ:

3. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
   1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
   2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
3. В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

1. Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность

   С решкой то же самое: .

2. Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
   Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
3. Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
2. Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: .
2. Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
3. 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

1. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
2. Какие есть варианты? и. Тогда:
   Выпало (и) или (и) или (и): .

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Условия их приобретения изложены здесь:

Кликните , приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!